Majd’ 50 éves rejtélyt sikerült megoldania egy matematikusnak

Möbius-szalag szobra a Tajcshung Ipari Parkban, Tajvanon. Kép: Solomon203

A Möbius-szalagok olyan furcsa geometriai alakzatok, amelyeknek csak egy oldala van. Vegyünk egy papírcsíkot, van eleje és hátulja. Most csavarjuk meg, és ragasszuk össze a két rövid szélét. Hirtelen nincs se eleje, se hátulja. Az egész felületén végighúzhatunk egy vonalat anélkül, hogy a ceruzát el kellene vennünk a papírról. Negyvenhat évvel ezelőtt matematikusok javasolták egy ilyen csík minimális méretét, de bizonyítani nem tudták. Most valaki végre sikerrel járt.

Amióta August Ferdinand Möbius és Johann Benedict Listing megalkotta a szalagot, az elkészítésének és megjelenítésének egyszerűségét egyensúlyba kellett hozni egy ilyen alakzat matematikai bonyolultságával. Nem meglepő, hogy 1977-ben Charles Sidney Weaver és Benjamin Rigler Halpern megalkották a Halpern-Weaver-sejtést, amely kimondta a szalag szélessége és hossza közötti minimális arányt. Azt javasolták, hogy egy 1 centiméter széles csík esetében a hossznak legalább 3 centiméter négyzetgyökének (körülbelül 1,73 centiméter) kell lennie.

Megoldódott a rejtély

A sima Möbius-szalagok esetében, amelyek “beágyazottak”, azaz nem metszik egymást, a feltételezésnek nem volt megoldása. Ha a csík áthaladhat önmagán, akkor sokkal könnyebben megoldható a probléma Richard Evan Schwartz, a Brown Egyetem matematikusa szerint, de hibát követett el. Egy még értékelésre váró tanulmányban Schwartz kijavította a hibát, és megtalálta a helyes megoldást, számol be az IFLScience.

Egy Möbius-szalag. Fotó: David Benbennick

A megoldás egy korábbi dolgozatában szereplő lemma alapján született. Egy döntő fontosságú fogalom az, hogy a Möbius-szalagok felületén léteznek olyan egyenesek, amelyek minden ponton áthaladnak, és a határoknál végződnek. A lemma első részének igazolásához be kellett bizonyítania, hogy ezekre az egyenesekre merőleges egyenesek léteznek ugyanabban a síkban. Ezt meg is tette.

“Egyáltalán nem nyilvánvaló, hogy ezek léteznek”, mondta Schwartz a Scientific American-nek.

A következő lépés az volt, hogy felszeleteljük a Möbius-szalagokat, és megértsük, milyen alakzatokat alkotnak. Az ötlet az volt, hogy egyszerűsítjük a problémát a szalag kilapításával. Az eredeti tanulmányban Schwartz úgy gondolta, hogy a felszeletelt csík úgy néz ki, mint egy párhuzamos négyszög, de kiderült, hogy valójában egy trapéz.