Miért olyan gyakori a Fibonacci-sorozat a természetben?
A Fibonacci-sorozat és az aranymetszés elsősorban matematikai, másrészt pedig esztétikai vonatkozású – akkor miért utánozza ennyiszer a természet?
Kevés olyan híres számsorozat van, mint a Leonardo Fibonacci olasz matematikusról elnevezett. És nem véletlenül: ez a számsorozat egy viszonylag egyszerű receptből kiindulva úgy tűnik, hogy az élet szinte minden területét érinti – nemcsak a matematikában, hanem a minket körülvevő természeti világban is.
És ez furcsának tűnik, igaz? Miért kellene egy bizonyos, szabályos bináris művelet által szabályozott számsorozatnak az egész természetben felbukkannia?
Az ikonikus Fibonacci-sorozat
Fibonacci-sorozat, az 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… számok sorozata, amelyek közül a második után mindegyik az előző két szám összege. A sorozatot a középkori olasz matematikus Fibonacci jegyezte fel Liber abaci című művében (1202; „Az abakusz könyve”), amely a hindu-arab számokat és a tizedes számrendszert is népszerűsítette Európában, írja a Britannica enciklopédia.
Fibonacci a sorozatot annak a problémának az összefüggésében vezette be, hogy hány nyúlpár lenne egy zárt területen, ha minden hónapban egy pár egy új párt hozna létre, akik aztán a következő hónaptól szintén szaporodhatnának. A sorozat számjegyei a természetben mindenütt előfordulnak, például a napraforgófejek és a csigaházak spiráljaiban. A sorozat egymást követő tagjai közötti arány 1 +√5/2 (egy és öt négyzetgyökének összegét osztjuk kettővel) vagy 1,6180… az egyhez, azaz az aranymetszés felé tendálnak.
A Fibonacci-sorozat tehát kezdettől fogva szorosan kapcsolódott a természethez. De a nyúlpopulációknál sokkal több helyen is felbukkan: a szekvencia a virágok szirmainak számában és a fenyőtobozok felleveleiben, a fák ágaiban és a karfiolvirágok virágainak örvényeiben, a legkisebb csigaháztól a legjelentősebb Grand Design spirálgalaxisokig látható.
Miért ilyen gyakori a Fibonacci-sorozat?
A válasz nagy részét a matematika egy olyan területe magyarázza, amelyet diofantikus közelítésnek neveznek. A lehető legegyszerűbben fogalmazva, ez annak tanulmányozása, hogy milyen irracionális számok lehetnek, és néhány következtetése meglepő lehet.
Vegyük például a „legirracionálisabb számot”. Ha megkérdeznénk, hogy melyik szám a legirracionálisabb, akkor valószínűleg vagy azt gondolnánk, hogy ez egy trükk és a kérdés ostobaság, vagy pedig valami olyasmit választanánk, mint a pi. Valójában azonban a legirracionálisabb szám sokkal szerényebb: ez a fí.
Hogy működik a racionális közelítés?
Magyarázatként nézzük meg egy kicsit a pit. Talán hallottad már, hogy ez nagyjából 22/7: ezt a számot a matematikusok a szám második konvergensének nevezik, és csak 0,04 százalékkal magasabb, mint a pi valódi értéke. A harmadik konvergens, a 333/106 kevesebb, mint 0,003 százalékkal marad el, a negyedik, a 355/113 pedig mindössze 0,00008 százalékkal haladja meg a pi valódi értékét, magyarázza az IFLScience.
Bár egész számok egyetlen törtje sem írhatja le pontosan a pi értékét, határozottan láthatjuk, hogy néhány kombináció igencsak megközelíti azt. De ugyanez nem igaz a fíre. De itt kezd érdekes lenni a dolog. Nézzük meg a fí konvergenseit: 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34…
Honnan tudjuk, hogy nem csak véletlen egybeesés?
„Fibonacci-szerű minták és arányok, amelyeket számos biológiai szervezetben, köztük a növényekben is megtalálunk, valóban kapcsolatban állnak a Fibonacci-sorozattal” – erősítette meg Ethan Siegel asztrofizikus és tudománykommunikátor egy idén megjelent cikkében – „mind matematikailag szigorú módon, mind pedig evolúciós okokból, amelyeknek tökéletes értelme van.”
Gondoljunk csak a növények leveleire. A növény energiája a Napból származik, ezért a növény célja növekedése során az, hogy a levelek minél nagyobb mértékben legyenek kitéve a napfénynek. Ennek kézenfekvő módja, hogy az új levelek az előzőtől körbe-körbe nőnek a száron – de mennyire kell körbemenniük?
Nos, próbáljunk ki néhány példát. A félköríves út nem lesz jó; mire a harmadik levelet növesztjük, az már közvetlenül az első alatt lesz, és nem látja a napot. Ugyanez igaz a körút harmadára, negyedére vagy ötödére is – valójában a körút bármely racionális töredéke azt fogja jelenteni, hogy az egyik levél teljesen a másik árnyékában lesz. A válasz tehát az, hogy a körút irracionális töredékére kell mennünk – és a legjobb mind közül a legirracionálisabb töredék lehet. Mint láttuk, ezt a bizonyos értéket – elvégre fizikailag lehetetlen pontosan elérni – a legjobban a Fibonacci-számok segítségével érhetjük el.
„Ha folyamatosan ilyen szögben rakod ki a leveleket […] az előző levélhez képest, akkor a levelek mintázata egy Fibonacci-spirált fog alkotni” – magyarázta Siegel. „Ugyanez a matematikai tulajdonság, amely az ananászba, a fenyőtobozokba és még sok másba kódolva van, megmagyarázza, hogy a biológiai organizmusok miért mutatják gyakran a Fibonacci-sorozatban található számokat.”
Azért nem mindig így van
A Fibonacci-sorozat számai mindenütt jelenléte tehát nem csupán véletlen – ez egy tökéletesen kifejlődött optimalizációs algoritmus eredménye a természetben.
Csak egy kikötés van: néha tényleg csak véletlen: „Míg a természetben számos spirálforma fordul elő tisztán fizikai, nem biológiai folyamatokból – a vízben kialakuló örvényektől és örvényektől a hurrikánfelhők és a tiszta sávok légi alakzataiig -, addig ezek közül egyik spirál sem Fibonacci-szerű, ha a szerkezetük tényleges matematikai részleteiről van szó, tartósan” – mutatott rá Siegel.
„Lehetséges, hogy egy adott pillanatban készíthetünk egy „pillanatfelvételt”, ahol egy vagy több jellegzetesség olyan arányokat mutat, amelyek megfelelnek a Fibonacci-sorozatban található arányoknak, de ezek a struktúrák nem tartósak és tartósan fennmaradnak. A [legtöbb] spirálgalaxisban látható Fibonacci-szerű mintázatok a szemünk találmányai, nem pedig az Univerzum fizikai igazságai.”
Ez is érdekelhet:
- A Feröer-szigeteken lévő tó, amely az óceán felett lebeg
- Mit használtak az emberek a vécépapír előtt?
Kiemelt kép: depositphotos.com
